"جوهر الرياضيات يكمن بالكامل في حرّيتها"
(جورج كانتور)
قال رينية ديكارت ذات مرة: "بالنسبة لي، فإن كل شيء في الطبيعة يوجد بصورة رياضية"، بينما يشير ألبرت أينشتاين من وجهة نظر أخرى إلى الفكرة نفسها حينما يقول في إحدى محاضراته بجامعة أوكسفورد: "أنا مقتنع أن البنى الرياضية الخالصة تُمكّننا من اكتشاف المفاهيم والقوانين التي تربط بينها، وهو ما يمنحنا المفتاح لفهم الطبيعة". في الحقيقة يمكن لنا أن نفرد كتابا كاملا للحديث عن آراء أكثر المفكرين إنجازا وشهرة في أهمية الرياضيات ودورها في تمكين البشر من بقية الأدوات المعرفية، لكنّ كشفا علميا جديدا ظهر فقط قبل عدة أسابيع ربما قد يساعدنا على فهم تلك الفكرة بصورة أفضل.
ساعات داخل أجسادنا
تمكن فريق بحثي دولي من اكتشاف وجود دورة مدتها 12 ساعة في خلايا الفئران الكبدية، تشبه هذه الدورة الساعة البيولوجية (Circadian Rhythm)، تلك التي تنظم الكثير من وظائف الجسم، بداية من نمط نومنا، ودرجات حرارة أجسامنا في أوقات متعددة من اليوم، وصولا إلى إفراز الهرمونات، وسلوكنا الغذائي، وإفراز هرمونات كالكورتيزول، الميلاتونين، والإنسولين. في حواره مع "ميدان" يقول الدكتور كليفورد داكسو من كلية باير للطب والمشارك في تلك الدراسة إن "الساعة البيولوجية تمثل مجموعة من التغيرات الجسدية والعقلية والسلوكية التي تتبع دورة في 24 ساعة يحركها تغير نمط الضوء والظلام"، ثم يستكمل بعد قليل قائلا: "الساعة الجديدة، في دورة مدتها 12 ساعة، تتشابه مع تلك الفكرة".في أثناء النظر إلى الوظائف التي تؤديها الجينات خلال فترة زمنية ممتدة، بدلا من النظر إلى لحظة واحدة فقط كعادة الباحثين في هذا المجال، اكتشف الفريق أن الوظائف الخلوية الأساسية، مثل الاستجابة للالتهابات والإجهاد، ومراقبة جودة البروتينات، وإمدادات الطاقة، تتبع دورات معينة. لكن المثير للانتباه في هذه الدراسة الجديدة ليس فقط أن نتائجها لم تعتمد فقط على تسجيل تحركات السلوك الخلوي، ولكن كذلك في الآلية التي استخدمها الفريق البحثي للوصول إلى النتائج، في تلك اللحظة يدخل لأرض الملعب "أثاناسيوس أنتولاس"، الباحث في مجال هندسة الكمبيوتر من جامعة رايس، والذي كان قبل فترة قد استخدم طريقة رياضية تُدعى "قلم المصفوفة" (Matrix Pencil) لكي يتمكن من خلالها من قراءة أنماط الإشارات الرقمية في محيط بيانات صاخب ومشوّش للغاية.
استخدمت تلك الآلية بالأساس في عوالم الحوسبة بنجاح، وتمكّن الباحثون من خلالها من الإمساك بتتابعات موجية في البيانات لم تكن واضحة في البداية، لكن هذا الفريق البحثي المشترك قرر أن ينقل تلك الآلية من عالم الرياضيات والحوسبة لفحص ظاهرة بيولوجية، على وجه التحديد: بيانات التعبير الجيني (Gene Expression) التي تم جمعها كل ساعة لمدة 36 ساعة من أكثر من 18 ألف جين في خلايا كبدية في الفئران، هنا جاءت النتائج لتقول إن هناك موجة واضحة من التتابع في تلك البيانات، تلك الموجة تمثل دورة طولها 12 ساعة، تنفصل تماما عن الساعة البيولوجية التي تدور مرة كل 24 ساعة.
"في النهاية" يقول داكسو في حواره مع ميدان مستكملا: "فإن الرياضيات هي وحدات بناء الفيزياء، والتي بدورها تمثل القوانين التي تعمل بها الكيانات البيولوجية". يشير داكسو هنا إلى نقطة مهمة، فبعيدا عن الكشف الجديد الذي قام به الفريق البحثي الخاص به، ربما لا يعرف الكثيرون أن هناك مجال بحث خصبا يسمى "البيولوجيا الرياضية" (Mathematical Biology)، يحاول العاملون به أن يستخدموا الأفكار -أو قُل البنى- الرياضية لمعالجة مشكلات بيولوجية، خذ مثلا أحد أشهر الأخبار العلمية في العام 2017 حينما تمكن فريق بحثي من "بلو برين بروجيكت" (Blue Brain Project) من التوصل إلى أنه يمكن قراءة شكل الوصلات الدماغية برياضيات تمتلك أحد عشر بُعدا!
أحد عشر بُعدا.. في دماغك!
للوهلة الأولى قد تصيبك الفكرة بدرجة من التعجب فتحتاج إلى قراءة الجملة الأخيرة من الفقرة السابقة مرة أخرى، هل كنّا نبحث عن أحد عشر بُعدا في عالم الفيزياء الكونية لنجدها في الدماغ؟ لكن الفكرة ليست كما تظن تحديدا، حيث لا يشكل الدماغ وصلات عصبية في أبعاد متعددة، الدماغ يكون خلاياه ووصلاته في عالمنا ثلاثي البعد بطريقة عادية، لكن فقط أمكن لهذا الفريق أن يُطبّق فرعا غاية في التخصص والتجريد من الرياضيات يدعى "الطوبولوجيا الجبرية" -للمرة الأولى على الإطلاق- في محاولة لفهم تعقد الدماغ البشري الشديد، وإذا به ينجح.
هنا تدخل الطوبولوجيا الجبرية، نحن نعرف أن أدمغتنا تستجيب لأي مُثير -ليكن تعرضك لحادث مُحرج في الشارع مثلا- بأن تبني وصلات جديدة بين الخلايا العصبية، لكن كانت المشكلة دائما هي أن أحدا لم يتمكن من فهم نمط تكوّن تلك الوصلات وتعقدها كلما استمر المثير الخارجي في التفاقم، لكن حينما قرر هذا الفريق البحثي أن يطبق الطوبولوجيا الجبرية اكتشف أن الدماغ يعقّد وصلاته بهندسة ترتفع أبعادها مع تعقد المُثير الخارجي واستمراره، فيبدأ الدماغ بتكوين قضبان من تجمعات الخلايا العصبية (بُعد واحد)، ثم تتحول القضبان إلى ألواح (بُعدان)، ثم تتحول الألواح إلى مكعبات (ثلاثة أبعاد)، ثم تتعقد الأشكال الهندسية الناشئة بين الخلايا العصبية كما لو كانت تصنع ظلالا لأبعاد أعلى (حتّى 11 بُعدا)، وما أن ينتهي المُثير الحسّي حتّى ينهار كل ذلك التعقد بالضبط كما لو قمت ببناء قلعة من الرمل شيئا فشيئا، ثم هدمتها في النهاية لتعود رملا على الأرض كما كانت!!
رياضيات لكل شيء
هل ترى ذلك؟ في كل مرة قرر أحدهم أن يستخدم البنى الرياضية لفهم عالم البيولوجيا، بكل تفرعاته، كانت هناك نتائج مختلفة وبديعة، يقول داكسو في نهاية حديثه مع محرر "ميدان" إنه "على الرغم من تصوّر الناس بأن النطاقين منفصلان، فإنه كانت هناك دائما نماذج بارزة تمكنت الرياضيات خلالها من تفسير ظواهر بيولوجية معقدة"، في الحقيقة فإن هذا المجال الذي ندعوه بـ "البيولوجيا الرياضية" له تاريخ ضارب في أعماق العلم، ولفهم ذلك يمكن أن نرجع بالزمن قليلا، تحديدا في القرن السابع عشر في اللحظة التي نشر فيها ويليام هارفي كتابه "بحث تشريحي عن حركة القلب والدم في الحيوانات".
في تلك الفترة لم يكن أحد يعرف أن الدم يدور في الجسم، كان الأطباء يظنون أن الأوردة والشرايين هي أنظمة منفصلة عن بعضها البعض، الأولى تساعد في تدفئة الجسد والثانية تتعلق بوظائف إخراجية، لكن هارفي تساءل من وجهة نظر رياضية بسيطة: أين يذهب كل هذا الدم؟ بمعنى أوضح، يضخ القلب نحو 3.5 لتر كل 16 نبضة من نبضاته، ويضرب القلب نحو 60-90 نبضة بالدقيقة، ما يعني أنه في ساعة واحدة ينبض نحو 4800 مرة، ما يعني بالتالي أنه ينقل ما يتخطى 1000 لتر في الساعة، أين يذهب كل هذا؟ كانت إجابة هارفي ببساطة هو أنه لا يذهب إلى أي مكان، ذلك هو الحل الوحيد لتلك المشكلة، الدم كميته أقل من ذلك بكثير لكنه "يدور" في الجسم، بذلك تمكّن هارفي من إقناع الوسط العلمي بفكرة الدورة الدموية عبر تلك الحجة الرياضية البسيطة التي اعتمدت بالأساس على عمليتي قسمة وضرب!
بل ويعود تاريخ الاستخدام الرياضي لشرح ظواهر بيولوجية إلى الرياضي الإيطالي فيبوناتشي الذي استخدم متتاليته لشرح نمو تجمع من الأرانب، متسلسلة فيبوناتشي هي تلك المتتالية الشهيرة التي يساوي كل رقم فيها مجموع الرقمين السابقين له، فتبدأ بـ "1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21،... وهكذا، في الحقيقة تُعد تلك الأعداد الخاصة بفيبوناتتشي جزءا رئيسا من تركيب العديد من الظواهر في الطبيعة، بداية من بتلات الزهور، إلى تشكل القواقع، مرورا بتقاسيم الوجه البشري، وأغلفة النباتات، وشكل المجرات، وأنماط الأعاصير، حتى دراسة سلوك البيانات الضخمة!
لكن ما بين فيبوناتشي وفريق داكسو في دراسته الأخيرة فإن هناك تاريخا واسعا من الإنجازات الرياضية في كل جوانب علم الأحياء، خاصة في تلك اللحظة التي دخلت فيها رياضيات الفوضى لتفسير الظواهر البيولوجية والتي في غالبها منظومات متعقدة (Complex Systems)، وحينما أطلت الحوسبة برأسها في عالم المحاكاة للأنظمة البيولوجية، خاصة في علوم الأعصاب وبيولوجيا الخلية الحية، وينطلق ذلك أيضا ليكتسب الخبرة من مجال الذكاء الاصطناعي وتعلّم الآلة فيصنع نماذج للدماغ البشري تساعدنا في فهم درجات تعقّده. لقد بنت الاستنتاجات الأخيرة لفريق "بلو برين" نفسها على محاكاة لخلايا منطقة "القشرة الجديدة" (Neocortex) من المخ، ثم انتقلت التجارب لتطبيق النتائج على عيّنة تشريحية حقيقية.
ما هو الـ "1"؟!
وفي علم النفس التطوري فقد تدخلت الرياضيات وصولا لتفسير السلوك الإيثاري للكائن الحي عبر قاعدة هاميلتون، والتي تصف الشكل الإحصائي لعملية الإيثار في التجمعات الحيوية، وتقول إن بقدر ما تتشارك من صفات جينية مع أي من أقربائك فإن هناك فرصة أكبر لكي تقدم خدمة إيثارية له، وترتفع قيمة تلك الخدمة كلما ارتفعت درجة القرابة، فهناك الابن، والأخ الشقيق، والأب، في مستوى أول، لاحتواء كل منهم على أكبر قدر ممكن من جيناتك، ثم الأجداد والأحفاد والأعمام في مستوى آخر، وهنا تقل احتمالات وجود جيناتك إلى 25%، ثم أبناء العم والخال، إلخ. يُعبّر معامل القرابة إذن على مقدار ما قد يحمل هذا الفرد من جيناتك، فكلما كان الاحتمال أكبر كانت هناك رغبة أكبر منك في حمايته.من جهة أخرى تظهر معادلة لوتكا فولتيرا (Lotka–Volterra equations)، على سبيل المثال لا الحصر، لتشرح بدقة شديدة تم اختبارها تجريبيا العلاقة العكسية بين المفترس والفريسة، لنفترض مثلا أن لدينا تجمّعين من الحيوانات، المفترسات، الأسود مثلا ذات أعداد قليلة جدا، والجاموس البري ذو أعداد كبيرة، يتيح ذلك للأسود فرصة لغذاء أفضل وأسهل، وبالتالي التكاثر، ومع تزايد أعداد الأسود تقل أعداد الجاموس، ثم يحدث العكس مرة أخرى فتقل الأسود بسبب نقص الموارد، وفي المقابل يزداد عدد الجاموس من جديد، وهكذا، تتمكن تلك المبادلة من شرح شكل العلاقة بين المفترس والفريسة في أي لحظة زمنية.
ينتقل هذا مرورا بكل شيء في الجوانب المتعلقة بالبيولوجيا، كالطب مثلا، وصولا إلى محاولات الرياضيين لنمذجة النمو السرطاني من أجل تحقيق فهم أفضل لكيفية عمله، وبالتالي إيجاد علاج مناسب في مرحلة ما، في النهاية فإن دخول الرياضيات بهذا القدر من العمق لتفسير الظواهر البيولوجية يدفعنا لدرجة أكبر من التأمل فيما قاله جاليليو جاليلية يوما ما: "الفلسفة مكتوبة في الكتاب الأكبر، كتاب الكون، والذي يواجهنا مفتوحا بشكل دائم لأعيننا، ولكن هذا الكتاب لا يمكن فهمه قبل أن نتعلم لغته أولا ثم نقرأه بعد ذلك، والكون مكتوب بلغة الرياضيات، وصفاتها كالدوائر، المثلثات، الأشكال الهندسية الأخرى التي بدونها يستحيل على البشر فهم كلمة واحدة من هذا الكتاب، من دون تلك اللغة سوف نتخبط في متاهة مظلمة!".
لكن ذلك يدفعنا بدوره إلى إعادة النظر في أسئلة ببساطة: أي شيء الـ 1؟ ماذا يمثل؟ ولِمَ يمثل هذا المفهوم؟ ما الجمع؟ وماذا عن الطرح؟ والتفاضل؟ ما الجبر الخطي؟ وما الهندسة المستوية؟ من أين جاءت كل تلك الرياضيات؟ هل نكتشف الرياضيات أم نبتكرها؟ يستحق السؤال الأخير الكثير من التأمل في الحقيقة، لكن المشكلة الأكبر هي أننا لا نعرف بعد ماهية هذا الشيء -الرياضيات- الذي يمثّل أعظم إنجاز في تاريخنا والذي يصنع كل ذلك الفارق العظيم بين العلم وغيره من المجالات المعرفية، فكما يقول الفيزيائي الشهير يوجين فاجنر: "الفائدة الجمة التي تحققها الرياضيات للعلوم الطبيعية هي شيء غاية في الغموض، ولا يوجد تفسير منطقي واحد له".